On the extension of a partial metric to a tree metric

Farach, Kannan and Warnow (1995) have defined Problem MCA (matrix completion to additive) and proved it to be NP-complete: given a partial dissimilarity d on a finite set X , does there exist a tree metric extending d to all pairs of elements of X . We use a previously described simple method of phylogenetic reconstruction, and its extension to partial dissimilarities, to characterize some classes of polynomial instances of MCA and of a related problem. We point out that these problems admit many other polynomial instances. Our main tool consists of two classes of generalized cycles, together with the corresponding maximal acyclic graphs (2-trees and 2d-trees). Résumé. Farach, Kannan et Warnow (1995) ont posé le problème MCA (matrix completion to additive) suivant et ont démontré sa NP-complétude : étant donné une dissimilarité d partielle sur un ensemble fini X, est-il possible de l'étendre en une distance d'arbre définie sur toutes les paires d'éléments de X. Nous utilisons une méthode simple de reconstruction phylogénétique, précédemment décrite, et son extension aux dissimilarités partielles pour caractériser des classes d'instances polynomiales de MCA et d'un problème voisin. Nous montrons qu'en fait beaucoup d'autres instances sont aussi polynomiales. L'outil principal est constitué par deux classes de cycles généralisés, avec les graphes acycliques maximaux (2-arbres et 2d-arbres) correspondants.